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球面三角形和球面多边形的面积以及多面体欧拉公式(张宏兵)
1、球面三角形和球面多边形的面积公式为：单位球面上多边形面积等于其内角和减去对应平面多边形内角和的盈余。具体而言，球面三角形面积为内角和减π；球面n边形面积为内角和减（n-2）π。多面体欧拉公式为：与球面同胚的多面体满足顶点数v减棱数e加面数f恒等于2，即v-e+f=2，其中2是球面的特征数。
欧拉公式是如何推导出来的?
欧拉公式：多面体面数-棱数+顶点数=2。解法：列个方程组 面数-30+顶点数=2，面数-顶点数=8 解得 面数=20，顶点数=12。加法法则：一位数的加法：两个一位数相加，可以直接用数数的方法求出和。通常把两个一位数相加的结果编成加法表。多位数的加法：相同数位上的数相加。哪一位上的数相加满十，再向前一位进一。
通过一系列的数学推导，可以证明e^（ix） = cos x + i sin x。欧拉公式推导出来的部分公式 和差公式 cos（a+b） = cos a cos b - sin a sin b sin（a+b） = sin a cos b + cos a sin b 这两个公式描述了两个角的和或差的余弦和正弦值如何计算。
推导过程 这三个公式分别为其省略余项的麦克劳林公式，其中麦克劳林公式为泰勒公式的一种特殊形式 在e^x的展开式中把x换成±ix.所以 由此： ， ，然后采用两式相加减的方法得到：， 。这两个也叫做欧拉公式。
正方体：正方体有8个顶点，12条棱和6个面。代入欧拉公式，我们得到：8-12+6=2等式成立，验证了欧拉公式。正六面体：正六面体有8个顶点，12条棱和6个面。代入欧拉公式，我们得到：8-12+6=2等式成立，验证了欧拉公式。正十二面体：正十二面体有20个顶点，30条棱和12个面。
在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个 数 ，V记顶点个数 ，E记边界个数 ，则 R+ V- E= 2，这就是欧拉定理。它于 1640年由 Descartes首先给出证明 ，后来 Euler（欧拉 ）于 1752年又独立地给出证明 ，我们称其为欧拉定理 ，在国外也有人称其 为 Descartes定理。几何学的一门分科。
欧拉公式是由数学家欧拉在研究复数和三角函数关系时推导出来的。以下是欧拉公式产生的主要过程和思路： 复数与三角函数的关系：欧拉公式建立了复数与三角函数之间的桥梁。在复平面上，一个复数可以表示为实部和虚部的和，即$z = a + bi$，其中$a$和$b$是实数，$i$是虚数单位。
如何计算简单多面体的个数?
1、根据欧拉公式：F＋V＝E＋2，其中V为顶点数，E为棱数，f是面数。由题中知，有24个顶点，V＝24；又因为每个顶点处都有3条棱，即3V，但每条棱对应两个点，都重复算了一遍，所以是E＝3v／2。代入欧拉公式中得：V－E＋F＝2＋E－V＝2＋36－24＝14。共有14个面。
2、某个玻璃饰品的外形是简单多面体他的外表是由三角形和八边形两种多边形接听而成且有48个顶点每个顶点处都有三条棱设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，x加y的值为26。根据欧拉公式：F＋V＝E＋2，其中V为顶点数，E为棱数，f是面数。
3、多面体的顶点，面数，棱数之间的关系是在一凸多面体中，顶点数-棱边数+面数=2。这种关系也被成为多面体欧拉定理。在数论中，欧拉定理（Euler Theorem，也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理）是一个关于同余的性质。
4、面数+顶点数-棱数=2。简单多面体 表面由一些（平面）多边形所构成的立体，被称为多面体。无“孔”“洞”的多面体被称为简单多面体，如长方体、正方体、三棱椎等。简单多面体的表面可以连续地形变为一个球面，只要设想它的表面是有弹性的橡皮薄膜，充气后它就会膨胀成一个球面。
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文章不错《欧拉公式多面体/欧拉公式多面体推导》内容很有帮助